长久以来，数学都是精密、严格、准确的象征。

人类非理性的行为主导了社会、政治、经济、文化等领域的蓬勃发展，而在理性统治的时代，现代科学也在不断用实验和数据支撑或者反驳前人的论断，从而引领人们走向一条自我进化之路。路的远方只能无限接近真理，却永远无法抵达那里。于是，在世间万物变化无穷的表象之下，数学成了人们最后确定性的倚靠。

曾几何时，在人类匍匐在真理的道路探寻未来时，数学带来过光明。在科学尚在蒙昧的襁褓阶段时，数学也曾哺乳过文明。历史上，数学就是人类文明最忠实可靠的朋友。然而这位朋友，却经历过人们三次血与火的洗礼。幸运的是，每一次，它都将自己一部分最深邃的秘密展现给信仰追随它的人们。每一次的危机都带来人们观念上的革命，每一次革命都让后人更加了解数学——人类文明的守护者，更真实的内心。

数与形，是人类最早认识世界的基础。因此，作为数的代表—整数与事物形状的代表—几何，就这样进入人们理性思辨的世界。

第一次数学危机，就诞生在人们对整数和几何的认识之中。“根号2是否是有理数”这样一个问题，引起了古希腊先贤们的争论，并逐渐演变成一场巨大的风波，最终竟然引导古希腊的数学走向了一条截然不同的发展道路。

事件的起因，却要从勾股定理说起。

所谓“勾股定理”，就是一个直角三角形三边长必须满足的数量关系，即斜边长的平方等于长与宽各自的平方之和。这与古代中国独立发现的“勾三股四弦五”的特例有异曲同工之妙。意外的是，这一成就毕达哥拉斯千古英名的定理却也成了该学派信仰的“掘墓人”。

由于相信万物都是整数或者整数之比，那么两条几何线段长度之间的比值，其结果也必然是整数之比。这也意味着存在第三条线段，能同时量尽事先给定的两条线段。这种性质被毕达哥拉斯学派称为“可通约”。基于对整数的信条，他们认为任何两条线段都是可通约的。直到“不可通约量”的发现，终于引起了该学派巨大的信仰危机。这一“离经叛道”的结果，却是由毕达哥拉斯的学生希帕索斯（Hippasus）做出的。

希帕索斯考虑一个边长为1的等边直角三角形，根据勾股定理，其斜边长应该是“2的平方根”。如果毕达哥拉斯学派的断言是正确的，那么直边和斜边应该是可通约的，因此存在一个有理数（即整数之比），恰好等于“根号2”。希帕索斯很快就证明，这是一个矛盾的结论。他兴高采烈地将自己的非凡发现告诉老师毕达哥拉斯。在经过仔细的检查之后，毕达哥拉斯进入了“两难”的境地。要么承认希帕索斯颠覆性的结论，从而推翻他的数学与哲学的信条；要么违背理性的原则，坚决反对这一发现。左右为难之下，毕达哥拉斯将其视为学派的秘密，下令禁止传播这一结论。事情的发展还是超乎毕达哥拉斯的预料，希帕索斯最终将发现泄露出去，从而激怒了毕达哥拉斯。毕达哥拉斯随后下令处死他的学生。希帕索斯最终为此付出生命的代价，将一腔热血献祭给了第一次数学危机。

第一次数学危机持续了2000多年。公元前3世纪，毕达哥拉斯学派的欧多克斯(Eudoxus)试图通过在几何学中引进不可通约量的概念来解决它的矛盾。他认为，几何线段先天就存在着“可通约”和“不可通约”的限制，这在某种程度上大大拓展了人们对数的认识，也为无理数找到了存在的基础。直到1872年，德国数学家戴德金(Dedekind）从连续性的要求出发，通过有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的分析基础上，才揭开了无理数的神秘面纱，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了自古希腊时代就延续至今的数学史上的第一次大危机。

第一次数学危机诞生于几何学。万物皆依赖于整数的思想被瓦解，几何学的地位开始擢升。古希腊人开始明白知觉和经验的局限性，一切真理只有通过推理和证明才能确保可靠。此后，演绎和推理的方式逐渐登上古希腊科学的舞台，在此基础上建立的几何公理体系让希腊民族走向了以欧几里得（Euclid）和亚里士多德（Aristotle）为代表的逻辑论证之路。古希腊也因此成为现代科学国家的先驱者。

相比之下，四大文明古国的中国、印度、埃及和巴比伦却一直停留在实验科学的阶段，以经验作为检验真理的唯一标准，而忽视了推理和证明的重要性，从而与现代科学的诞生擦肩而过。

武汉科技馆数学展厅（优雅的证明——勾股定理）

上图展品为三个可转动的圆盘，每个圆盘中都安装了三个正方形容器——三个容器盛有刚好可以注满两个较小正方形容器的液体，并且两两仅在角顶处相触而连通，这使液体可以在三容器间自由流动。请注意，三个圆盘中的中央处呈现出由三个正方形容器各贡献一边构成直角、锐角和钝角三种类型的三角形。

转动圆盘，通过观察液体在不同容器间的流动，你看到了一条美妙数学定理——勾股定理的一个优雅的证明。

【编辑：刘思】