你可能觉得数学只是一门令人头疼的功课，也没有什么很大的用处，上学时学的那些微积分、解析几何、线性代数等数学知识，生活中根本用不到，也忘得差不多了。其实你大错特错了，人类社会的发展离不开数学，现代数学已成为科学发展的强大动力，广泛应用于自然科学和社会科学各个领域。

武汉科学技术馆一楼数学展厅

现在我们就来了解一下数学大家庭中的重要成员——微积分，它将向我们证明数学有多么的厉害，科学的发展又多么依赖数学的进步。那么，微积分是怎样被发明的呢？让我们循着伟人的足迹去一探究竟吧。

牛顿：如果说我所看到的比较远，那是因为我站在巨人肩上的缘故

提到微积分，很多人第一时间就想到牛顿和莱布尼兹，以为是这两个人创建了微积分，其实不然，实际上，微积分是几代数学家的持续努力和研究，经过漫长时间的发展演变才得以形成的。

微积分的萌芽是在古代，在希腊、中国和印度的著述中，不乏用无限小过程计算特殊形状面积、体积和曲线长的积分学例子。阿基米德在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积，螺线下的面积和旋转双曲线所得的面积的问题中也隐含着近代积分的思想。三国时期的刘徽所研究的割圆术对积分学也有研究。

当科技发展到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：

第一类问题是研究运动的时候出现的，就是求即时速度的问题；

第二类问题是求曲线的切线的问题；

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；

第四类问题是求曲线长，曲线围成的面积、体积，物体的重心等问题。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛莎格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。

然而，这些研究微积分的先驱们，他们的研究都是分开的，要么沿着微分学，要么沿着积分学，把微分和积分统一在一起的，创立微积分学，就是牛顿和莱布尼茨创立的丰功伟绩了。

牛顿——莱布尼茨的微积分思想

数学展厅内牛顿画像，器宇不凡，看起来就是一个牛人

据牛顿自己回忆，他是在1665年、1666年回家乡躲避瘟疫的那两年里发明了微积分。他认为变量是连续运动产生的，他把变量叫做流，变量的变化率叫做流数。牛顿更清楚地陈述了微积分的基本问题：已知两个流之间的关系，求它们流数之间的关系，以及它们的逆运算。也就是说，牛顿与之前所有探求微积分学的同行不同，他把微分和积分作为矛盾的对立面一起考虑并加以解决的（莱布尼茨也是如此）。

数学展厅莱布尼兹画像，大名鼎鼎的数学天才

莱布尼茨发明微积分的过程思路是不一样的，牛顿使用流数术是从运动背景有关系，因为他是一位物理学家，对力学非常重视， 莱布尼茨从几何学的角度出发的，始于研究切线和求积的问题。确切地说，他是在1673年从帕斯卡的一篇谈论圆的论文中获得灵感，在任意曲线上做一个特征小三角形，三角形的每一条边都是不可分的微分量（即无穷小），称为微分三角形， 通过对微分三角形的研究，他越来越明确地意识到，微分（求导数，主要是求切线）与积分（求和，主要是求面积），这两种运算是可逆的。莱布尼茨的核心思想是把积分看作无穷小的加法。

微积分原理示意图

um就是英文求和的意思，他把s这个英文字母拉长了，作为积分的符号。但是和普通的求和最大的区别是，矩形的底边长必须为无穷小dx，这种情况下的求和才叫积分。

简写为：

∫f(x)dx

求切线也是当时重要的任务。我们来看看莱布尼兹是怎么求切线的，首先，关于什么是切线，莱布尼兹是这样定义的：“一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点。”

莱布尼兹说，定义里面说的“距离无穷小”就是指的dx。

然后为了计算这个切线，莱布尼兹又定义了一个无穷小，dy是对应dx的曲线增量。

同时，莱布尼兹也认为：

然后计算这两个无穷小的商就可以得到切线的斜率：

上图中的dy、dx都是微分， 所谓的微积分，就是指把这些微分积起来。

接着，莱布尼兹进一步给出了微分和积分的相互关系式：f(b)-f(a)=∫baf'(x)dx

莱布尼兹在1677年提出的这一公式，我们来看看他是如何推导的，

现在我们得到了f(b)-f(a)=∑dy, dy=f’(x)dx,那么

f(b)-f(a)=∑f’(x)dx=∫baf’(x)dx

f是f’的原函数，从而我们得到了牛顿——莱布尼兹公式，这也是微积分学最基本的公式。正是这一关系式的发现才导致微积分一整套运算方法的建立，或者说这种互逆关系的发现正是微积分的关键所在。

开普勒定律的推导也使用了微积分知识

牛顿和莱布尼兹从不同角度工作，各自独立地发明了微积分基本定理。他们把微积分这一问题上升到一般概念，认为这是一种不依赖于任何几何和物理的结构性运算，像前面说过关于速度、切线、极值、求和等许多以前人们束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的强大威力。

微积分的发明，是科学史上划时代的贡献

无论是欧氏几何，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。它不仅极大地推动了数学的发展，也极大地推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学，社会科学及应用科学各个分支的发展，在自然科学和社会生活中扮演着极其重要的角色，同时给喜欢数学的人提供了成千上万的工作岗位，如同20世纪电子计算机的出现一样。（武汉科学技术馆  黄静）

【编辑：叶子】